Симплекс Метод Для Чайников
По существу, симплекс-метод. Статьи о решении математических задач для чайников. Рассматривается решение задачи линейного программирования симплекс.
- Решение любой задачи линейного программирования можно найти симплексным методом. Прежде чем применять симплекс-метод, следует записать.
- Метод искусственных переменных. Зачастую случается так. Построение симплекс-таблицы.
Симплекс метод Решение любой можно найти симплексным методом. Прежде чем применять симплекс-метод, следует записать исходную задачу в форме основной задачи линейного программирования, если она не имеет такой формы записи. Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции возрастает (при условии, что данная задача имеет оптимальный план и каждый ее опорный план является невырожденным).
Указанный переход возможен, если известен какой-нибудь исходный опорный план. Рассмотрим задачу, для которой этот план можно непосредственно записать. Пусть требуется найти максимальное значение функции при условиях Здесь и – заданные постоянные числа Векторная форма данной задачи имеет следующий вид: найти максимум функции (22) при условиях (23) (24) где Так как то по определению опорного плана является опорным планом данной задачи (последние компонент вектора Х равны нулю). Этот план определяется системой единичных векторов которые образуют базис пространства.
Поэтому каждый из векторов а также могут быть представлены в виде линейной комбинации векторов данного базиса. Пусть Положим Так как векторы – единичные, то и а Теорема 5 (признак оптимальности опорного плана). Опорный план задачи (22) – (24) является оптимальным, если для любого j Теорема 6. Если для некоторого j=k и среди чисел нет положительных, то целевая функция (22) задачи (22) – (24) не ограничена на множестве ее планов.
Если опорный план Х задачи (22) – (24) невырожден и, но среди чисел есть положительные (не все ), то существует опорный план X' такой, что Сформулированные теоремы позволяют проверить, является ли найденный опорный план оптимальным, и выявить целесообразность перехода к новому опорному плану. Исследование опорного плана на оптимальность, а также дальнейший вычислительный процесс удобнее вести, если условия задачи и первоначальные данные, полученные после определения исходного опорного плана, записать так, как показано в табл.
В столбце С 6 этой таблицы записывают коэффициенты при неизвестных целевой функции, имеющие те же индексы, что и векторы данного базиса. В столбце записывают положительные компоненты исходного опорного плана, в нем же в результате вычислений получают положительные компоненты оптимального плана. Столбцы векторов представляют собой коэффициенты разложения этих векторов по векторам данного базиса.
3 первые m строк определяются исходными данными задачи, а показатели (m+1)- й строки вычисляют. В этой строке в столбце вектора записывают значение целевой функции, которое она принимает при данном опорном плане, а в столбце вектора – значение Значение Z j находится как скалярное произведение вектора на вектор Значение равно скалярному произведению вектора P 0 на вектор: После заполнения таблицы 3 исходный опорный план проверяют на оптимальность. Для этого просматривают элементы - й строки таблицы. В результате может иметь место один из следующих трех случаев: 1) для j=m+1, (при ).
Поэтому в данном случае числа для всех j от 1 до n; 2) для некоторого j, и все соответствующие этому индексу величины 3) для некоторых индексов j, и для каждого такого j, по крайней мере, одно из чисел положительно. В первом случае на основании признака оптимальности исходный опорный план является оптимальным. Во втором случае целевая функция не ограничена сверху на множестве планов, а в третьем случае можно перейти от исходного плана к новому опорному плану, при котором значение целевой функции увеличится. Этот переход от одного опорного плана к другому осуществляется исключением из исходного базиса какого-нибудь из векторов и введением в него нового вектора. В качестве вектора, вводимого в базис, можно взять любой из векторов имеющий индекс j, для которого. Пусть, например, и решено ввести в базис вектор Для определения вектора, подлежащего исключению из базиса, находят для всех Пусть этот минимум достигается при i=r. Тогда из базиса исключают вектор, а число называют разрешающим элементом.
Столбец и строку, на пересечении которых находится разрешающий элемент, называют направляющими. После выделения направляющей строки и направляющего столбца находят новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану. Это легко реализовать, если воспользоваться методом Жордана–Гаусса. При этом можно показать, что положительные компоненты нового опорного плана вычисляются по формулам (25) а коэффициенты разложения векторов через векторы нового базиса, соответствующего новому опорному плану, – по формулам (26) После вычисления и согласно формулам (25) и (26) их значения заносят в табл. Элементы - й строки этой таблицы могут быть вычислены либо по формулам (27) (28) либо на основании их определения. Таблица 3 Таблица 4 Наличие двух способов нахождения элементов - й строки позволяет осуществлять контроль правильности проводимых вычислений.
Из формулы (27) следует, что при переходе от одного опорного плана к другому наиболее целесообразно ввести в базис вектор, имеющий индекс j, при котором максимальным по абсолютной величине является число. Однако с целью упрощения вычислительного процесса в дальнейшем будем вектор, вводимый в базис, определять, исходя из максимальной абсолютной величины отрицательных чисел.
Если же таких чисел несколько, то в базис будем вводить вектор, имеющий такой же индекс, как и максимальное из чисел, определяемых данными числами Итак, переход от одного опорного плана к другому сводится к переходу от одной симплекс-таблицы к другой. Элементы новой симплекс-таблицы можно вычислить как с помощью рекуррентных формул (25)-(28), так и по правилам, непосредственно вытекающим из них. Эти правила состоят в следующем. В столбцах векторов, входящих в базис, на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляются единицы, а все остальные элементы данных столбцов полагают равными нулю. Элементы векторов и в строке новой симплекс-таблицы, в которой записан вектор, вводимый в базис, получают из элементов этой же строки исходной таблицы делением их на величину разрешающего элемента. В столбце в строке вводимого вектора проставляют величину, где k – индекс вводимого вектора.
Остальные элементы столбцов вектора и новой симплекс-таблицы вычисляют по правилу треугольника. Вид сырья Нормы затрат сырья ( кг) на одно изделие Общее количество сырья ( кг) А В С I II III 18 6 5 15 4 3 12 8 3 360 192 180 Цена одного изделия (руб.) 9 10 16 Изделия А, В и С могут производиться в любых соотношениях (сбыт обеспечен), но производство ограничено выделенным предприятию сырьем каждого вида. Составить план производства изделий, при котором общая стоимость всей произведенной предприятием продукции является максимальной. Составим математическую модель задачи. Искомый выпуск изделий А обозначим через x 1, изделий В – через, изделий С – через. Поскольку имеются ограничения на выделенный предприятию фонд сырья каждого вида, переменные должны удовлетворять следующей системе неравенств: (29) Общая стоимость произведенной предприятием продукции при условии выпуска x 1 изделий А, изделий В и изделий С составляет (30) По своему экономическому содержанию переменные могут принимать только лишь неотрицательные значения: (31) Таким образом, приходим к следующей математической задаче: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (29) требуется найти такое, при котором функция (30) принимает максимальное значение.
Запишем эту задачу в форме основной задачи линейного программирования. Для этого перейдем от ограничений-неравенств к ограничениям-равенствам. Введем три дополнительные переменные, в результате чего ограничения запишутся в виде системы уравнений Эти дополнительные переменные по экономическому смыслу означают не используемое при данном плане производства количество сырья того или иного вида. Например, – это неиспользуемое количество сырья I вида. Преобразованную систему уравнений запишем в векторной форме: где Поскольку среди векторов имеются три единичных вектора, для данной задачи можно непосредственно записать опорный план.
Таковым является план Х=(0; 0; 0; 360; 192; 180), определяемый системой трехмерных единичных векторов которые образуют базис трехмерного векторного пространства. Составляем симплексную таблицу для I итерации (табл. 6), подсчитываем значения и проверяем исходный опорный план на оптимальность: Для векторов базиса Таблица 6.
I Базис С б P 0 9 10 16 0 0 0 P 1 P 2 Р 3 p 4 Р 5 P 6 1 2 3 4 P 4 р 5 p 6 0 0 0 360 192 180 0 18 6 5 -9 15 4 3 -10 12 8 3 -16 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Как видно из таблицы 6, значения всех основных переменных равны нулю, а дополнительные переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями задачи. Эти значения переменных отвечают такому “плану”, при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю (т. Стоимость произведенной продукции отсутствует). Этот план, конечно, не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки табл. 6, так как в ней имеется три отрицательных числа: и Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции, но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или другого вида продукции.
Так, число – 9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение выпуска продукции на 9 руб. Если включить в план производства по одному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на 10 и 16 руб. Поэтому с экономической точки зрения наиболее целесообразным является включение в план производства изделий С. Это же необходимо сделать и на основании формального признака симплексного метода, поскольку максимальное по абсолютной величине отрицательное число стоит в 4-й строке столбца вектора Р 3. Следовательно, в базис введем вектор Р 3. Определяем вектор, подлежащий исключению из базиса.
Для этого находим Найдя число мы тем самым с экономической точки зрения определили, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида. Так как сырья данного вида соответственно имеется 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида соответственно 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С, которое может быть изготовлено предприятием, равно т. Ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья II вида. С учетом его наличия предприятие может изготовить 24 изделия С. При этом сырье II вида будет полностью использовано.
Следовательно, вектор Р 5 подлежит исключению из базиса. Столбец вектора Р 3 к 2-я строка являются направляющими. Составляем таблицу для II итерации (табл. I Базис С б Р 0 9 10 16 0 0 0 P 1 P 2 P 3 p 4 p 5 Р 6 1 2 3 4 P 4 p 3 p 6 0 16 0 72 24 108 384 9 3/4 11/4 3 9 1/2 3/2 -2 0 1 0 0 1 0 0 0 -3/2 1/8 -3/8 2 0 0 1 0 Сначала заполняем строку вектора, вновь введенного в базис, т. Строку, номер которой совпадает с номером направляющей строки.
Здесь направляющей является 2-я строка. Элементы этой строки табл. 7 получаются из соответствующих элементов таблицы 6 делением их на разрешающий элемент (т. При этом в столбце С б записываем коэффициент, стоящий в столбце вводимого в базис вектора. Затем заполняем элементы столбцов для векторов, входящих в новый базис. В этих столбцах на пересечении строк и столбцов одноименных векторов проставляем единицы, а все остальные элементы полагаем равными нулю.
Для определения остальных элементов табл. 7 применяем правило треугольника. Эти элементы могут быть вычислены и непосредственно по рекуррентным формулам. Вычислим элементы табл.
7, стоящие в столбце вектора Р 0. Первый из них находится в 1-й строке этого столбца. Для его вычисления находим три числа: 1) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора Р 0 и 1-й строки (360); 2) число, стоящее в табл. 6 на пересечении столбца вектора P 3 и 1-й строки (12); 3) число, стоящее в табл. 7 на пересечении столбца вектора Р 0 и 2-й строки (24). Вычитая из первого числа произведение двух других, находим искомый элемент: 360 – 12 х 24=72; записываем его в 1-й строке столбца вектора Р 0 табл.
Второй элемент столбца вектора Р 0 табл. 7 был уже вычислен ранее. Для вычисления третьего элемента столбца вектора Р 0 также находим три числа.
Первое из них (180) находится на пересечении 3-й строки и столбца вектора Р 0 табл. 6, второе (3) – на пересечении 3-й строки и столбца вектора P 3 табл. 6, третье (24) – на пересечении 2-й строки и столбца вектора Р 0 табл. Итак, указанный элемент есть 180 – 24 х 3=108. Число 108 записываем в 3-й строке столбца вектора Р 0 табл. Значение F 0 в 4-й строке столбца этого же вектора можно найти двумя способами: 1) по формуле, т.е.
2) по правилу треугольника; в данном случае треугольник образован числами 0, -16, 24. Этот способ приводит к тому же результату: 0 - (-16) х 24=384. При определении по правилу треугольника элементов столбца вектора Р 0 третье число, стоящее в нижней вершине треугольника, все время оставалось неизменным и менялись лишь первые два числа.
Учтем это при нахождении элементов столбца вектора P 1 табл. Для вычисления указанных элементов первые два числа берем из столбцов векторов P 1 и Р 3 табл. 6, а третье число – из табл. Это число стоит на пересечении 2-й строки и столбца вектора P 1 последней таблицы. В результате получаем значения искомых элементов: 18 – 12 х (3/4) =9; 5 – 3 х (3/4) = 11/4. Число в 4-й строке столбца вектора P 1 табл. 7 можно найти двумя способами: 1) по формуле Z 1-С 1=(C,P 1)-C 1 имеем 2) по правилу треугольника получим Аналогично находим элементы столбца вектора P 2.
Элементы столбца вектора Р 5 вычисляем по правилу треугольника. Однако построенные для определения этих элементов треугольники выглядят иначе.
При вычислении элемента 1-й строки указанного столбца получается треугольник, образованный числами 0,12 и 1/8. Следовательно, искомый элемент равен 0 – 12 х (1/8) = -3/2.
Элемент, стоящий в 3-й строке данного столбца, равен 0 - 3 х (1 /8) = -3/8. По окончании расчета всех элементов табл. 7 в ней получены новый опорный план и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы P 4, P 3, P 6 и значения. Как видно из этой таблицы, новым опорным планом задачи является план X=(0; 0; 24; 72; 0; 108). При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1 вида и 108 кг сырья III вида.
Стоимость всей производимой при этом плане продукции равна 384 руб. Указанные числа записаны в столбце вектора Р 0 табл. Как видно, данные этого столбца по-прежнему представляют собой параметры рассматриваемой задачи, хотя они претерпели значительные изменения. Изменились данные и других столбцов, а их экономическое содержание стало более сложным.
Так, например, возьмем данные столбца вектора Р 2. Число 1/2 во 2-й строке этого столбца показывает, на сколько следует уменьшить изготовление изделий С, если запланировать выпуск одного изделия В. Числа 9 и 3/2 в 1-й и 3-й строках вектора P 2 показывают соответственно, сколько потребуется сырья I и II вида при включении в план производства одного изделия В, а число – 2 в 4-й строке показывает, что если будет запланирован выпуск одного изделия В, то это обеспечит увеличение выпуска продукции в стоимостном выражении на 2 руб. Иными словами, если включить в план производства продукции одно изделие В, то это потребует уменьшения выпуска изделия С на 1/2 ед.
И потребует дополнительных затрат 9 кг сырья I вида и 3/2 кг сырья III вида, а общая стоимость изготовляемой продукции в соответствии с новым оптимальным планом возрастет на 2 руб. Таким образом, числа 9 и 3/2 выступают как бы новыми “нормами” затрат сырья I и III вида на изготовление одного изделия В (как видно из табл.
6, ранее они были равны 15 и 3), что объясняется уменьшением выпуска изделий С. Такой же экономический смысл имеют и данные столбца вектора Р 1 табл. Несколько иное экономическое содержание имеют числа, записанные в столбце вектора Р 5.
Число 1/8 во 2-й строке этого столбца, показывает, что увеличение объемов сырья II вида на 1 кг позволило бы увеличить выпуск изделий С на 1/8 ед. Одновременно потребовалось бы дополнительно 3/2 кг сырья I вида и 3/8 кг сырья III вида.
Увеличение выпуска изделий С на 1/8 ед. Приведет к росту выпуска продукции на 2 руб. Из изложенного выше экономического содержания данных табл. 7 следует, что найденный на II итерации план задачи не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки табл.
7, поскольку в столбце вектора P 2 этой строки стоит отрицательное число – 2. Значит, в базис следует ввести вектор P 2, т. В новом плане следует предусмотреть выпуск изделий В. При определении возможного числа изготовления изделий В следует учитывать имеющееся количество сырья каждого вида, а именно: возможный выпуск изделий В определяется для, т. Находим Следовательно, исключению из базиса подлежит вектор Р 4 иными словами, выпуск изделий В ограничен имеющимся в распоряжении предприятия сырьем I вида.
С учетом имеющихся объемов этого сырья предприятию следует изготовить 8 изделий В. Число 9 является разрешающим элементом, а столбец вектора P 2 и 1-я строка табл.
Инструкция + по определению группы крови. 7 являются направляющими. Составляем таблицу для III итерации (табл.
I Базис С б P 0 9 10 16 0 0 0 P 1 P 2 P 3 p 4 p 5 Р 6 1 2 3 4 P 2 P 3 Р 6 10 16 0 8 20 96 400 1 1/4 5/4 5 1 0 0 0 0 1 0 0 1/9 -1/18 -1/6 2/9 -1/6 5/24 -1/8 5/3 0 0 1 0 В табл. 8 сначала заполняем элементы 1-й строки, которая представляет собой строку вновь вводимого в базис вектора Р 2. Элементы этой строки получаем из элементов 1-й строки табл. 7 делением последних на разрешающий элемент (т.е. При этом в столбце С б данной строки записываем. Затем заполняем элементы столбцов векторов базиса и по правилу треугольника вычисляем элементы остальных столбцов. В результате в табл.
8 получаем новый опорный план X=(0; 8; 20; 0; 0; 96) и коэффициенты разложения векторов через базисные векторы и соответствующие значения и Проверяем, является ли данный опорный план оптимальным или нет. Для этого рассмотрим 4-ю строку, табл. В этой строке среди чисел нет отрицательных. Это означает, что найденный опорный план является оптимальным и Следовательно, план выпуска продукции, включающий изготовление 8 изделий В и 20 изделий С, является оптимальным. При данном плане выпуска изделий полностью используется сырье I и II видов и остается неиспользованным 96 кг сырья III вида, а стоимость производимой продукции равна 400 руб. Оптимальным планом производства продукции не предусматривается изготовление изделий А. Введение в план выпуска продукции изделий вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости.
Это видно из 4-й строки столбца вектора P 1, где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 руб. Решение данного примера симплексным методом можно было бы проводить, используя лишь одну таблицу (табл. 9). В этой таблице последовательно записаны одна за другой все три итерации вычислительного процесса. I Базис С б Р 0 9 10 16 0 0 0 P 1 P 2 P 3 p 4 p 5 Р 6 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 P 4 р 5 p 6 P 4 p 3 p 6 P 2 p 3 p 6 0 0 0 0 16 0 0 16 0 360 192 180 0 72 24 108 384 8 20 96 400 18 6 5 -9 9 3/4 11/4 3 1 1/4 5/4 5 15 4 3 -10 9 1/2 3/2 -2 1 0 0 0 12 8 3 -16 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1/9 -1/18 -1/6 2/9 0 1 0 0 -3/2 1/8 -3/8 2 -1/6 5/24 -1/8 5/3 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 Пример 10. Найти максимум функции при условиях Решение.
Систему уравнений задачи запишем в векторной форме: где Так как среди векторов имеется три единичных вектора, то для данной задачи можно непосредственно найти опорный план. Таковым является план Х=(0, 0, 20, 24; 0; 18).
Составляем симплексную таблицу (табл. 10) и проверяем, является ли данный опорный план оптимальным. I Базис С б Р 0 2 -6 0 0 5 0 P 1 P 2 P 3 p 4 p 5 Р 6 1 2 3 4 p 3 P 4 p 6 0 0 0 20 24 18 0 -2 -1 3 -2 1 -2 -1 6 1 0 0 0 0 1 0 0 1 3 -12 -5 0 0 1 0 Как видно из табл. 10, исходный опорный план не является оптимальным.
Поэтому переходим к новому опорному плану. Это можно сделать, так как в столбцах векторов P 1 и p 5, 4-я строка которых содержит отрицательные числа, имеются положительные элементы. Для перехода к новому опорному плану введем в базис вектор p 5 и исключим из базиса вектор p 4.
Составляем таблицу II итерации.
Задача: Найти наибольшее значение функции F = 3 x 1 + x 2 при следующих ограничениях: - x 1 + x 2 ≥ 1 x 1 + 3 x 2 ≤ 15 - 2 x 1 + x 2 ≤ 4 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 Решение: 1. Свободные члены системы должны быть неотрицательными.
Данное условие выполнено. Каждое ограничение системы должно представлять собой уравнение. x 1 + x 2 ≥ 1 x 1 + 3 x 2 ≤ 15 - 2 x 1 + x 2 ≤ 4 - x 1 + x 2 - S 1 = 1 x 1 + 3 x 2 + S 2 = 15 - 2 x 1 + x 2 + S 3 = 4 S 1 ≥ 0, S 2 ≥ 0, S 3 ≥ 0.
Введенные переменные S 1, S 2, S 3, называются балансовыми переменными. Нахождение начального базиса и значения функции F, которое соответствует найденному начальному базису.
Переменная называется базисной для данного уравнения, если она входит в данное уравнение с коэффициентом один и не входит в оставшиеся уравнения (при условии, что в правой части уравнения стоит положительное число). Если в каждом уравнении присутствует базисная переменная, тогда говорят, что в системе присутствует базис. Переменные, которые не являются базисными, называются свободными.
Систему ниже) Идея симплекс метода заключается в том, чтобы переходить от одного базиса к другому, получая значение функции, как минимум, не меньше имеющегося (каждому базису соответствует единственное значение функции). Очевидно, количество всевозможных базисов для любой задачи число конечное (и не очень большое).
Следовательно, рано или поздно, ответ будет получен. Как осуществляется переход от одного базиса к другому? Запись решения удобнее вести в виде таблиц. Каждая строка эквивалентна уравнению системы. Выделенная строка состоит из коэффициентов функции (сравните сами).
Это позволяет не переписывать переменные каждый раз, что существенно экономит время. B выделенной строке выбираем наибольший положительный коэффициент. Это необходимо для того, чтобы получить значение функции, как минимум, не меньше имеющегося.
Выбран столбец. Для положительных коэффициентов выбранного столбца считаем отношение Θ и выбираем наименьшее значение. Это необходимо для того, чтобы после преобразования столбец свободных членов остался положительным. Выбрана строка. Следовательно, определен элемент, который будет базисным. Далее считаем.
x 1 + x 2 - S 1 + R 1 = 1 x 1 + 3 x 2 + S 2 = 15 - 2 x 1 + x 2 + S 3 = 4 R 1 ≥ 0. Введенная переменная R 1, называется искусственной переменной. Без начального базиса невозможно начать решение.
Поэтому воспользовались введением искусственной переменной, т.е. Добавили искусственную переменную в то уравнение, где не было базисной переменной.
Симплекс Метод Для Чайников
Придется решить вспомогательную задачу. Необходимо получить базис без искусственной переменной. Для этого введем в рассмотрение функцию W и будем искать ее наименьшее значение. W = R 1 W = 1 + x 1 - x 2 + S 1 Приравниваем свободные переменные нулю, устно находим значения базисных переменных.
Функция W выражена через свободные переменные, следовательно, ее значение для данного решения можно найти мгновенно. X 1 = 0 x 2 = 0 S 1 = 0 S 2 = 15 S 3 = 4 R 1 = 1 = W = 1 Шаг №1 x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 R 1 св. Член Θ -1 1 -1 0 0 1 1 1: 1 = 1 1 3 0 1 0 0 15 15: 3 = 5 -2 1 0 0 1 0 4 4: 1 = 4 1 -1 1 0 0 0 W - 1 -1 1 -1 0 0 1 1 4 0 3 1 0 -3 12 -1 0 1 0 1 -1 3 0 0 0 0 0 1 W - 0 Приравниваем свободные переменные нулю, устно находим значения базисных переменных. Функция W выражена через свободные переменные, следовательно, ее значение для данного решения можно найти мгновенно. X 1 = 0 S 1 = 0 R 1 = 0 x 2 = 1 S 2 = 12 S 3 = 3 = W = 0 Получен базис без использования искусственной переменной.
Что и требовалось. Столбец, соответствующей искусственной переменной, можно вычеркнуть. В итоге, исходная система выглядит следующим образом.
x 1 + x 2 - S 1 = 1 4 x 1 + 3 S 1 + S 2 = 12 - x 1 + S 1 + S 3 = 3 F = 3 x 1 + x 2 F = 3 x 1 + ( 1 + x 1 + S 1 ) = 1 + 4 x 1 + S 1 Приравниваем свободные переменные нулю, устно находим значения базисных переменных. Функция F выражена через свободные переменные, следовательно, ее значение для данного решения можно найти мгновенно. X 1 = 0 S 1 = 0 x 2 = 1 S 2 = 12 S 3 = 3 = F = 1 Начальный базис найден и получено значение функции F соответствующее найденному базису. Нахождение наибольшего значения функции F. Шаг №1 x 1 x 2 S 1 S 2 S 3 св.
Симплекс Метод Для Начинающих
Член Θ -1 1 -1 0 0 1 4 0 3 1 0 12 12: 4 = 3 -1 0 1 0 1 3 4 0 1 0 0 F - 1 -1 1 -1 0 0 1 1 0 3/4 1/4 0 3 -1 0 1 0 1 3 4 0 1 0 0 F - 1 0 1 -1/4 1/4 0 4 1 0 3/4 1/4 0 3 0 0 7/4 1/4 1 6 0 0 -2 -1 0 F - 13 Приравниваем свободные переменные нулю, устно находим значения базисных переменных. Таблицу) Функция F выражена через свободные переменные, следовательно, ее значение для данного решения можно найти мгновенно. Таблицу) S 1 = 0 S 2 = 0 x 1 = 3 x 2 = 4 S 3 = 6 = F - 13 = 0 = F = 13 Среди коэффициентов выделенной строки нет положительных. Следовательно, найдено наибольшее значение функции F. Ответ: x 1 = 3 x 2 = 4 F max = 13.